СПбГУ
Физический факультет
Кафедра вычислительной физики
Проф.И.В.Комаров

Программа (магистерского) курса
КВАНТОВЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ

ВВЕДЕНИЕ:  Интегрируемость в классической и квантовой механике.Теорема Лиувилля. Аддитивное и мультипликативное разделение переменных.

ЧАСТЬ 1. Анализ примеров интегрируемых систем в классической и квантовой механике.

1. Пространственное разделение переменных.
2. Генераторы или элементы Казимира групп Ли как интегралы движения.
3. Симметрия задачи Кеплера. Интегрируемые базисы.
4. Задача двух кулоновских центров.
5. Гамильтонианы вида квадратичных форм от координат и импульсов. Разделение переменных линейным каноническим преобразованием.
6. Волчок Ковалевской в классической механике.
7. Волчок Горячева-Чаплыгина в классической и квантовой механике.
8. Представление Лакса для классических динамических систем с N степенями свободы. Пример: цепочка Тоды.
9. Функция Бейкера-Ахиезера, разделение переменных.

ЧАСТЬ 2. Квантовый метод обратной задачи (КМОЗ) и разделение переменных

1. Основные обозначения. Уравнение Янга-Бакстера. Фундаментальные коммутационные соотношения (ФКС). Примеры R-матриц.  Графические обозначения. Квантовый детерминант. Коумножение.
2. Алгебраический анзац Бете. Функциональное уравнение Бакстера.
3. Автоморфизмы уравнения Янга-Бакстера,  автоморфизмы и свойства решений ФКС.
4. Разделение переменных в схеме КМОЗ (Функциональный анзац Бете): 
а) алгебра новых наблюдаемых 
б) квантовая интерполяция Лагранжа и T(u) в новых переменных
в) разделение переменных 
Примеры: волчок ГЧ, ХХХ магнетик периодическая цепочка Тоды
5. Квазиклассический предел ФКС: линейная r-матричная алгебра
6. Магнетик Годена для алгебры su(2)
7. su(1,1) магнетик Годена и пространственное разделение переменных в операторах Лапласа на вещественных пространствах постоянной кривизны
8. Метод функционального уравнения Бете. Пример: периодическая цепочка Тоды

ЛИТЕРАТУРА:

ВВЕДЕНИЕ и ЧАСТЬ 1  основаны главным образом на стандартных учебниках по классической и квантовой механике типа Арнольд, Ландау и Лифшиц (или аналогичных)

Симметрия кулоновской задачи обсуждается в ЛЛ "Квантовая механика" (последние издания), или в книге M.Englefield, "Group theory and Coulomb Problem", J.Wiley -Interscience , 1972 (имеется в БАН'е)

Квантовая задача двух кулоновских центров  изложена в книге И.В.Комаров, Л.И.Пономарев, С.Ю.Славянов "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции" , Наука, М 1976

С применением теории групп в задаче разделения переменных знакомит книга : У.Миллер "Симметpия и pазделение переменных", Миp, М 1981,а также E.G.Kalnins "Separation of variables for Riemannian spaces of constant curvature", Longman 1986

С волчком Ковалевской можно познакомиться по сборнику ее трудов или книге Ю.А.Аpхангельский "Аналитическая динамика твеpдого тела", Hаyка, М 1977.

Современное изложение с предъявлением представления Лакса принадлежит А.Г.Рейману и М.А.Семенову-Тян-Шанскому в статье "Теоpетико-гpyпповые методы в теоpии конечномеpных интегpиpyемых систем" в кн. "Итоги наyки и техники. Совpеменные пpоблемы математики. Фyндаментальные напpавления" т.18, ВИHИТИ М 1987, с.119-193

Квантовый волчок ГЧ изучен в работах И.В.Комаров ТМФ 50 (1982) 402 , ТМФ 53 (1982) 296,
I.V.Komarov J.Phys. A15 (1982) 1765
I.V.Komarov, V.V.Zalipaev J.Phys. A17 (1984) 1479
И.В.Комаров,С.В.Пасовец Вестник ЛГУ сер.4.вып.1 (1985) 3 - 8

С цепочкой Тоды в классической механике знакомит книга:
М.Тода "Колебания нелинейных цепочек" Мир, М 1987

ЧАСТЬ 2 существенно использует лекции Е.К.Склянина 1) Quantum Inverse Scattering Method. Selected Topics,
опубликованные в : a)Helsinki. Preprint HU-TFT-91-51
или b) сб."Quantum groups and quantum integrable systems" ed.Mo-Lin Ge,(World Sci., 1992) p.93  и имеющиеся там ссылки.
2) Separation of variables. New trends. Progress in Theor.Phys.
Suppl.No.118 (1995) p.35

По классическому методу обратной задачи фундаментальным источником является книга Л.Д.Фаддеев, Л.А.Тахтаджян "Гамильтонов подход в теории солитонов", Наука, М1985

Широкий список классических интегрируемых имеется в книге 
А.М.Переломова "Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли", Наука, М1990

Классическая монография: Р.Бэкстер "Точнорешаемые модели в статистической механике" ,Миp,  М 1985, развивает математический аппарат, весьма близкий квантовому методу обратной задачи

Единственная пока монография по квантовому методу обратной задачи: Н.М.Боголюбов, А.Г.Изергин, В.Е.Корепин "Корреляционные функции и квантовый метод обратной задачи" , М, "Наука",1992.
Интересы авторов лежат в задачах о вычислении корреляционных функций.
Очень информативна обзорная статья:
L.D. Faddeev "How Algebraic Bethe Ansatz works for integrable model" Les-Houches lectures, 59 pages, Latex, hep-th 9605187

По приложению функционального анзаца Бете см.,например:
V.B.Kuznetsov J.Math.Phys. 31 (1990) 1167

Разделение переменных для собственных функций оператора Лапласа на пространствах постоянной кривизны выполнено в
V.B.Kuznetsov J.Phys. A25 (1992) 6005
(см.также В.Б.Кузнецов"Функциональный анализ и его приложения" 26, N4 (1992) 88 )

Применение функионального уравнения Бакстера к нахождению спектра интегралов движения для периодической цепочки Тоды см. в статье
V.Pasquier, M.Gaudin J.Phys.A25 (1992) 5243-5252

СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИЙ:

Лекция 1.

Определение интегрируемости. Т.Лиувилля. Разделение переменных (по Склянину). Квантовые аналоги т.Лиувилля и РП.
Примеры интегрируемых систем:
1) H=(p_1^2 + p_2^2)/2 + v_1(x_1) + v_2(x_2)
2) Центральное поле. РП в полярных координатах
Вырожденные (суперинтегрирумые) системы.
Генераторы или элементы Казимира групп Ли как интегралы движения.
Генераторы группы sl(2) как локальные координаты на фазовом многообразии.

Лекция 2.

Произвольные локальные координаты на фазовом многообразии.
Частные случаи. Скобка Ли - Костанта - Кириллова.
Пример 2а: волчок Эйлера
Пример 3а: задача Кеплера. Симметрия. Интегрируемые базисы представлений o(4), допускающие РП в координатном и импульсном представления.
Пример 4:  тяжелые волчки. Локальные координаты, образующие алгебру e(3). Интегрируемые случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. РП в координатах Ковалевской (без вывода)

Лекция 3.

Пример 4а:
Напоминание про РП по Склянину: кривые (иногда алгебраические), связанные с кравнениями разделения.
Волчок Горячева-Чаплыгина в классической и квантовой механике. Уравнения и интегралы движения, разделение переменных в классической механике. Новые локальные координаты на фазовом многообразии и РП в квантовой механике.

Лекция 4.

Спектр интегралов ГЧ, техника вычислений, принципы нумерации состояний.

Пример 5. Гамильтонианы вида квадратичных форм от координат и импульсов.
Разделение переменных линейным каноническим преобразованием

?Тесты на интегрируемость Ковалевской и Пенлеве в классической механике.

Схема построения интегрируемых систем:
{  ?   а) системы Штеккеля.}
Представление Лакса для классических динамических систем с N степенями свободы:
интегрирование уравнения Лакса; у.Л. как условие совместности двух линейных задач;
интегралы движения как спектральные инварианты: (trL^n , det(z-L);
связь с алгеброй gl(n), вспомогательное пространство как пространство ее представления;
 роль спектрального параметра - алгебраическая кривая.

Пример: периодическая цепочка Тоды. N x N и 2x2  пары.

Лекция 5.

Анализ Лаксовых матриц для  N x N и 2 x 2  пар: вспомогательная линейная задача - разностные аналоги у.Шредингера в дифференциальной и интегральной форме. Алгебраическая кривая для периодической задачи.

Свойства представления Лакса:
а) существование (L-матрица в переменных действие-угол)
б) неединственность
в) калибровочная инвариантность

Функция Бейкера-Ахиезера, ее полюса, уравнения для их определения;
разделение переменных.

Лекция 6.

Метод r-матрицы. Коммутационные соотношения между элементами L - матрицы, появление r-матриц. Постоянные r - матрицы для линейной и квадратичной r-матричных алгебр. Переход к квантованию: естественность эквивалентного рассмотрения вспомогательного и квантового пространств.

КМОЗ:
Основные обозначения. Уравнение Янга-Бакстера.
Фундаментальные коммутационные соотношения (ФКС). Рациональная
R-матрица.  Графические обозначения. Квантовый детерминант -без вывода. Коумножение. Интегрируемые системы, связанные с ФКС.
Пример:  цепочка Тоды

Лекция 7.

Уравнение YB и ФКС в подробной покомпонентной записи.
Оператор перестановки, его матричные элементы в естественном базисе,
тождество P_{ik}P_{ij}=P_{kj}P_{ik}.
Рациональная R-матрица: проверка выполнения YBE.
Вычисление коммутационных соотношений между элементами T(u) для d=2.
Понятие о процедуре размножения. Квантовый детерминант.
Явная формула для d=2. Свойство  det T = detL_n.... detL_1

Лекция 8.

Пример: XXX su(2) магнетик. L(u), квантовый детерминант, интегралы Алгебраический анзац Бете. Функциональное уравнение Бакстера - без вывода.

Лекция 9.

Автоморфизмы уравнения Янга-Бакстера:
0) умножение на число
1) полное транспонирование
2) кроссинг-преобразование
3) переход к обратной матице с инверсией спектрального параметра;
T и P симметрия , унитарность и кроссинг-унитарность .
Автоморфизмы и свойства решений ФКС:
0) умножение на число
1) сдвиг аргумента
2) инверсия (для P унитарной R-матрицы)
3) антипод  (для кроссинг-унитарной R-матрицы)

Лекция 10.

Разделение переменных в схеме КМОЗ (Функциональный анзац Бете):
а) квантовая функция Бейкера-Ахиезера, ее полюса, уравнения для их определения;
b) ее собственные числа в полюсах
c) алгебра новых наблюдаемых
d) квантовая интерполяция Лагранжа и  T(u)  в новых переменных
e) разделение переменных

Лекция 11.

Примеры: волчок ГЧ, ХХХ магнетик, периодическая цепочка Тоды

Квазиклассический предел ФКС: линейная r-матричная алгебра Магнетик Годена для алгебры su(2).

su(1,1) магнетик Годена и пространственное разделение переменных в операторах Лапласа на вещественных пространствах постоянной кривизны.
_