Исследование интегрируемых систем восходит к классическим работам по аналитической механике Эйлера, Лагранжа, Якоби, Лиувилля и других великих математиков. К концу XIX века все интересные примеры были в основном исчерпаны и интерес переместился на изучение качественного и в особенности стохастического поведения сложных динамических систем.
Новый интерес к вполне интегрируемым системам в классической механике возник после появления знаменитой работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры об уравнении Кортевега-де Фриза, в которой был обнаружен первый пример явно решаемой бесконечномерной динамической системы с нетривиальной, но весьма регулярной динамикой и богатым спектром возбуждений. Питер Лакс значительно прояснил теорию уравнения Кортевега-де Фриза, обнаружив, что оно возникает как условие совместности линейных дифференциальных уравнений; несколькими годами позже в 1971 году Захаров и Фаддеев показали, что уравнение Кортевега-де Фриза является бесконечномерной вполне интегрируемой гамильтоновой системой в техническом смысле слова. В течение короткого времени было открыто множество новых примеров, в частности, уравнение sine-Gordon - первый пример интегрируемого релятивистского нелинейного волнового уравнения.
В 1978 году Л.Д. Фаддеевым и его учениками был создан квантовый метод обратной задачи, с помощью которого удалось построить и найти точные решения для большого количества интегрируемых моделей квантовой механики, квантовой теории поля и статистической физики. Многие результаты для этих моделей были получены задолго до создания квантового метода обратной задачи с помощью анзаца Бете. Тем не менее, главные события в последние десятилетия происходили и происходят в основном именно в теории квантовых интегрируемых систем.
Математика и классических и квантовых вполне интегрируемых систем очень интересна и богата, в ней естественным образом объединились функциональный анализ, теория функций, дифференциальная, алгебраическая и пуассонова геометрия, теория групп и алгебр Ли. Именно развитие теории интегрируемых систем привело и к новым открытиям в геометрии и алгебре - появлению квантовых групп с их богатым спектром приложений в геометрии, теории представлений, комбинаторике, теории графов и т.д.
Следующие сотрудники нашей кафедры - И.В. Комаров, В.Б. Кузнецов и А.В. Цыганов - принимали и принимают посильное участие в развитии современной теории интегрируемых систем.